Het complexe vlak
Complexe getallen (HB p.12-13)
Ooit leerde je dat kwadraten nooit negatief konden zijn.
Maar stel je voor dat dat wel kan; dat er een getal is waarvoor geldt dat het kwadraat daarvan -1 is. Als we dat getal i (van imaginair) noemen, geldt: i²=-1.
Maar stel je voor dat dat wel kan; dat er een getal is waarvoor geldt dat het kwadraat daarvan -1 is. Als we dat getal i (van imaginair) noemen, geldt: i²=-1.
Voorstelling van complexe getallen
In een complex getal a + bi noemen we
- het getal a het reële gedeelte
- het getal b het imaginaire gedeelte.
Je kan in het applet experimenteren met getal en voorstelling.
- Waar ligt het getal als het reële gedeelte gelijk is aan 0?
- Waar ligt het getal als het imaginaire gedeelte gelijk is aan 0?
enz.
In een complex getal a + bi noemen we
- het getal a het reële gedeelte
- het getal b het imaginaire gedeelte.
Je kan in het applet experimenteren met getal en voorstelling.
- Waar ligt het getal als het reële gedeelte gelijk is aan 0?
- Waar ligt het getal als het imaginaire gedeelte gelijk is aan 0?
enz.
Rekenen met complexe getallen (HB p.14-18)
Som en verschil van twee complexe getallen
z1 + z2 = (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
z1 - z2 = (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
- Tel de reële delen bij elkaar op
- Tel de imaginaire delen bij elkaar op
In onderstaande applet kan je wat experimenteren met verschillende voorbeelden.
z1 + z2 = (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
z1 - z2 = (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
- Tel de reële delen bij elkaar op
- Tel de imaginaire delen bij elkaar op
In onderstaande applet kan je wat experimenteren met verschillende voorbeelden.
Product van twee complexe getallen
z1 . z2 = (a + bi) . (c + di)
= ac + bci +adi + bdi² met i² = -1 vinden we:
= (ac - bd) + (ad + bc)i
In onderstaande applet kan je wat experimenteren met verschillende voorbeelden.
z1 . z2 = (a + bi) . (c + di)
= ac + bci +adi + bdi² met i² = -1 vinden we:
= (ac - bd) + (ad + bc)i
In onderstaande applet kan je wat experimenteren met verschillende voorbeelden.
Toegevoegde of geconjugeerde van een complex getal
Getallen met hetzelfde reële deel maar tegengestelde imaginaire delen noemen we toegevoegde/geconjugeerde complexe getallen.
Vb.: 5+2i en 5-2i
Getallen met hetzelfde reële deel maar tegengestelde imaginaire delen noemen we toegevoegde/geconjugeerde complexe getallen.
Vb.: 5+2i en 5-2i
Quotiënt van twee complexe getallen
Voor quotiënten zoals (a + bi) : (c + di) gebruiken we een rekentrucje:
Vermits i² = -1 krijgen we het imaginaire deel in de noemer weg door teller en noemer van de breuk
te vermenigvuldigen met het zogenaamde toegevoegde complexe getal.
Voor een getal (c + di) is dit (c - di).
Bij vermenigvuldiging krijgen we (c + di) . (c - di) = (c)² - (di)² = c² +d²
3 + 1i = (3 + 1i).(-1 - 2i) = -3 - 6i - i - 2i² = -3 + 2 - 6i -i = -1 - 7 i
-1 + 2i (-1 + 2i) . (-1 - 2i) (-1)² - 4i² 1 + 4 5 5
Voor quotiënten zoals (a + bi) : (c + di) gebruiken we een rekentrucje:
Vermits i² = -1 krijgen we het imaginaire deel in de noemer weg door teller en noemer van de breuk
te vermenigvuldigen met het zogenaamde toegevoegde complexe getal.
Voor een getal (c + di) is dit (c - di).
Bij vermenigvuldiging krijgen we (c + di) . (c - di) = (c)² - (di)² = c² +d²
3 + 1i = (3 + 1i).(-1 - 2i) = -3 - 6i - i - 2i² = -3 + 2 - 6i -i = -1 - 7 i
-1 + 2i (-1 + 2i) . (-1 - 2i) (-1)² - 4i² 1 + 4 5 5
Machtsverheffing in C
Inoefenen van het kwadrateren:
Vierkantswortels uit een complex getal
Hieronder zie je een filmpje waarin een voorbeeld van 'een vierkantswortel uit een complex getal' stap voor stap uitgelegd wordt.
Vierkantsvergelijkingen in C
Samenvatting rekenregels (HB p.23-24)
In onderstaand filmpje wordt gesproken over 'de bekende bananenschilregel', dit betekent niets meer dan het toepassen van de distributiviteit.
Hieronder vind je een prezi die de leerstof